(3)函数的极值与其导数的关系

①极大值与导数的关系

x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值 ↘ ②极小值与导数的关系

x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗

知识点二　求可导函数y＝f(x)极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；

(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．

如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．

(1)极大值一定大于极小值．(　×　)

(2)f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　×　)

(3)在极值点两侧的单调性一定相反．(　√　)

类型一　求函数的极值和极值点

例1　求下列函数的极值：

(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；

(2)f(x)＝＋3ln x.

考点　函数的极值与导数的关系

题点　不含参数的函数求极值

解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，

解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.