复习

引入 回顾

1.指数函数的定义、图象、性质.

2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.

3. 复合函数单调性的判定方法.

老师提问

学生回答

复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数

y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.

为学习新课作好了知识上的准备. 应用

举例 例1 当a＞1时，判断函数y=是奇函数.

例2 求函数y=（）的单调区间，并证明之.

课堂练习

1. 求函数y=3的单调区间和值域.

2. 设a是实数，

试证明对于任意a,为增函数；

例1

师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？

（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：

（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.

（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.

（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系.

若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.

师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.

（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）

证明：由ax－1≠0，得x≠0，

故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称.

又f（－x）

===

=－f（x），

∴f（－x）=－f（x）.

∴函数y=是奇函数.

例2

师：证明函数单调性的方法是什么?

（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.

解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

则==（）=（）.

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即＞1.

∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.

当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.

∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.

综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.

合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

解法二、（用复合函数的单调性）：

设：

则：

对任意的，有，

又∵是减函数

∴ ∴在

是减函数

对任意的，有，

又∵是减函数

∴ ∴在

是增函数

小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

课堂练习答案

1.解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R.

设u=－x2+2x+3（x∈R），

则f（u）=3u，

故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.

∵f（u）=3u在R上是增函数，

而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.

∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.

又知u≤4，此时x=1，

∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，

∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.

2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法

（1）证明：设∈R,且

则

由于指数函数 y=在R上是增函数,且,

所以即<0，

又由>0得+1>0, +1>0

所以<0即

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数

小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性

掌握指数形式函数奇偶性的判断.

掌握指数形式函数单调性的判断.