2018-2019学年人教B版选修1-2 反证法 学案
2018-2019学年人教B版选修1-2     反证法  学案第2页

答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即"李子苦"),(2)以此为条件,经过正确的推理,最后得出一个结论("早被路人摘光了"),(3)判定该结论与事实("树上结满李子")矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法.

思考2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况?

答 (1)与假设矛盾;

(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾;

(3)与公认的简单事实矛盾.

思考3 反证法主要适用于什么情形?

答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;

②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.

探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论

例1 已知直线a,b和平面α,如果a⊄α,b⊂α,且a∥b,求证:a∥α.

证明 因为a∥b,

所以经过直线a,b确定一个平面β.

因为a⊄α,而a⊂β,所以α与β是两个不同的平面.

因为b⊂α,且b⊂β,所以α∩β=b.

下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点.

假设直线a与平面α有公共点P,如图所示,

则P∈α∩β=b,即点P是直线a与b的公共点,

这与a∥b矛盾.所以a∥α.

反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法.

跟踪训练1 如图,已知a∥b,a∩平面α=A.求证:直线b与平面α必相交.

证明 假设b与平面α不相交,即b⊂α或b∥α.

①若b⊂α,因为b∥a,a⊄α,所以a∥α,

这与a∩α=A相矛盾;