§5　夹角的计算

5.1　直线间的夹角　5.2　平面间的夹角

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是(　　)

A.4 B.6 C.8 D.10

解析:如图所示,在正方体中,△AD1C是正三角形,所以面对角线AC,CD1与AD1成60°的角,由异面直线所成角的定义知,面对角线A1C1,A1B与AD1也成60°的角;同理,△AD1B1也是正三角形,所以AB1,DC1,B1D1,BD与AD1所成的角也是60°,即共有8条.

答案:C

2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC,且PA=AB,则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为(　　)

A.75° B.60° C.45° D.30°

解析:以A为坐标原点,(AD) ⃗,(AB) ⃗,(AP) ⃗分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

　　设AB=1,平面CDP的一个法向量为n1=(x,y,1),则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1),

　　则{■(n_1 "·" (CD) ⃗=0"," @n_1 "·" (PD) ⃗=0"." )┤

　　∵(PD) ⃗=(1,0,-1),(CD) ⃗=(0,-1,0),

　　∴{■("-" y=0"," @x"-" 1=0"," )┤即n1=(1,0,1).

　　于是cos=(n_1 "·" n_2)/("|" n_1 "||" n_2 "|" )=(0+0+1)/(√2×1)=√2/2.

　　∴平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°.

答案:C

3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A. 1/10 B.2/5 C.√30/10 D.√2/2