5.3　直线与平面的夹角

1.若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB与平面α所成角为(　　)

A.π/6 B.π/3 C.2/3 πD.5/6 π

解析:设AB与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=1/2,则AB与平面α所成角为 π/3.

答案:B

2.若平面α的一个法向量n=(4,1,1),直线l的方向向量a=(-2,-3,3),则直线l与平面α所成角的余弦值为0(　　)

A.-√11/11 B.√11/11 C.-√110/11 D.√913/33

解析:∵cos=(a"·" n)/("|" a"||" n"|" )=("-" 8"-" 3+3)/(√22×√18)=("-" 4)/(3√11),

　　∴直线l与平面α所成角的正弦值为 4/(3√11),余弦值为√(1"-" (4/(3√11))^2 )=√913/33.

答案:D

3.如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角,记作θ,那么sin θ的值为(　　)

A.√2/2 B.√3/3 C.√5/5 D.1

解析:由于两条平行直线和同一平面所成的角相等,则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC1满足和十二条棱所在的直线成相等的角.又B1D⊥平面A1BC1,设垂足为O,则O为△A1BC1的中心,且B1O=1/3 B1D.设正方体的棱长为a,则B1O=√3/3 a,所以sin θ=(B_1 O)/(A_1 B_1 )=√3/3.

答案:B

4.将正方形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,则直线AC与平面BCD所成的角不可能等于(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

解析:当直线AC与平面BCD所成的角为90°时,有AC⊥BC,则有斜边AB等于直角边BC.

答案:A

5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)

A.√6/4 B.√10/4 C.√2/2 D.√3/2