第一章 1.3 1.3.3 函数的最值 与导数

　　A级 基础巩固

　　一、选择题

　　1．(2018·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f ′(x)＋2xf(x)＝x(ex)，f(2)＝8(e2)，则x＞0时，f(x)( D )

　　A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

　　C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

　　[解析] ∵函数f(x)满足x2f ′(x)＋2xf(x)＝x(ex)，

　　∴[x2f(x)]′＝x(ex)，

　　令F(x)＝x2f(x)，则f ′(x)＝x(ex)，

　　F(2)＝4·f(2)＝2(e2)．

　　由x2f ′(x)＋2xf(x)＝x(ex)，得f ′(x)＝x3(ex－2F(x)，

　　令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2f ′(x)＝x(ex(x－2)．

　　∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

　　∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0．∴φ(x)≥0．

　　又x＞0，∴f ′(x)≥0．

　　∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

　　∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．

　　2．(2018·新乡一模)若函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有最大值，则a的取值范围为( B )

　　A．(0，＋∞) B．(0,3)

　　C．(3，＋∞) D．(1,3)

　　[解析] f′(x)＝－2x＋a＋x(2)＝x(－2x2＋ax＋2)

　　要使函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有最大值

　　则函数f(x)＝－x2＋ax＋2lnx在(1,2)上有极大值

　　即方程－2x2＋ax＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)

　　∴－2×22＋a·2＋2<0(－2×12＋a·1＋2>0)，解得0＜a＜3．

故选B．