3.2.3　用向量方法求空间中的角

课时过关·能力提升

基础巩固

1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A.120° B.60°

C.30° D.以上均错

解析:∵l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,

　　∴它们所在直线的夹角为60°.

　　则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.

答案:C

2设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于0(　　)

A.45° B.30° C.90° D.60°

解析:建立如图所示的空间直角坐标系,

　　则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),

　　∴(AC) ⃗=(1,1,0),(BF) ⃗=(0,-1,1).

　　∴(AC) ⃗·(BF) ⃗=-1.

　　设异面直线AC与BF所成的角为θ,

　　∴cos θ=|cos<(AC) ⃗,(BF) ⃗>|=1/2.

　　又∵θ∈(0°,90°,∴θ=60°.

答案:D

3若a=(λ,1,2)与b=(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为(　　)

A.λ<5/2

B.λ<5/2,且λ≠-2