9.如图所示,在四棱锥D1-ABCD中,AD=DD1=CD,底面ABCD是正方形,DD1⊥平面ABCD,E是AD1的中点,求<(AC) ⃗,(DE) ⃗>.

解取CD1的中点F,连接EF,DF,则(EF) ⃗=1/2 (AC) ⃗,

　　∴<(AC) ⃗,(DE) ⃗>=<(EF) ⃗,(DE) ⃗>.

　　∵DD1⊥平面ABCD,

　　∴DD1⊥AD,DD1⊥CD,

　　又AD=DD1=CD,∴DE=DF=EF=√2/2 DD1,

　　∴△EFD为正三角形.

　　∴∠FED=π/3.

　　∴<(AC) ⃗,(DE) ⃗>=<(EF) ⃗,(DE) ⃗>=2π/3.

★10.如图所示,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD为正方形,VA⊥平面ABCD,以这五个顶点为起点和终点的向量中:

(1)求直线AB的方向向量;

(2)求证:BD⊥平面VAC,并确定平面VAC的法向量.

(1)解由已知得在以这五个顶点为起点和终点的向量中,直线AB的方向向量有(AB) ⃗,(BA) ⃗,(CD) ⃗,(DC) ⃗.

(2)证明∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.

　　又VA⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,

　　∴BD⊥VA.

　　又AC∩VA=A,∴BD⊥平面VAC.

∴平面VAC的法向量有(BD) ⃗,(DB) ⃗.