3．3　导数在研究函数中的应用

　　3．3.1　函数的单调性与导数

　　1．C　[解析] ∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)≤0，解得0

　　2．B　　3.B　

　　4．A　[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0，选择A.

　　5．A　[解析] ∵f(x)＝sin x－x，∴f′(x)＝cos x－1≤0，故函数f(x)在R上是减函数，又－＜1＜，∴f＞f(1)＞f.

　　6．C　[解析] 由题知f′(x)＝(x－2)(x2－1)，令f′(x)＝(x－2)(x2－1)≤0，得x≤－1或1≤x≤2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，2]．

　　7．B　[解析] 设g(x)＝f(x)－(2x＋4)，g′(x)＝f′(x)－2.因为对任意x∈R，f′(x)＞2，所以对任意x∈R，g′(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增．又因为g(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，故对任意x∈(－1，＋∞)，g(x)>0，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

　　8．[－1，1]　[解析] 令f′(x)＝3x2－3≤0，解得－1≤x≤1，∴函数f(x)＝x3－3x的单调递减区间是[－1，1]．

　　9．[－1，1]　[解析] ∵f(x)＝x－acos x，∴f′(x)＝1＋asin x，若函数f(x)＝x－acos x在R上单调递增，则1＋asin x≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是[－1，1]．

　　10．1≤k<　[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝，由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间是，由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间是.由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<

　　11．(－∞，－3)∪(0，3)　[解析] 令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．①∵当x＜0时h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，∴h(x)在(－∞，0)上单调递增，∵h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，∴由h(x)＜0得x＜－3.②当x＞0时，∵函数h(x)在R上是奇函数，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(3)＝－h(－3)＝0，∴h(x)＜0的解集为(0，3)，∴不等式f(x)g(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3)．

　　12．证明：设f(x)＝x－sin x(x＞0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x＞sin x(x＞0)．

13．解：(1)∵函数f(x)的图像过点P(1，2)，∴f(1)＝2，∴a＋b＝1①.又函数图像在点