分析此题不易从已知推导出结论,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:若p+q>2,则p3+q3≠2.

证明原命题的逆否命题为:若p+q>2,则p3+q3≠2.

　　由p+q>2,得q>2-p,

　　根据幂函数y=x3的单调性得q3>(2-p)3,

　　即q3>8-12p+6p2-p3.

　　p3+q3>8-12p+6p2=6["(" p"-" 1")" ^2+1/3]≥2,

　　所以p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

　　这说明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.

能力提升

1.下列说法正确的是(　　)

A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真

B."a>b"与"a+c>b+c"不等价

C."若a2+b2=0,则a,b全为0"的逆否命题是"若a,b全不为0,则a2+b2≠0"

D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真

解析:选项A中逆命题与逆否命题互为否命题,真假性没有关系;选项B中两者等价;选项C中逆否命题应是"若a,b不全为0,则a2+b2≠0";选项D正确.

答案:D

2.互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用"↔"表示同真或同假,把它叫做"连连看".下面让我们领略"连连看"的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的"连连看"中,正确的一组是(　　)

A.p↔r,s↔t B.p↔t,s↔r

C.p↔s,r↔t D.p↔r,s↔r

解析:因为命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有p↔s;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即r↔t.

答案:C

3.已知a,b,c∈R,命题"若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3"的否命题的等价命题是(　　)

A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3

B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3

C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3

D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3

解析:原命题的否命题的等价命题是原命题的逆命题.