对点练三　与最值有关的恒成立问题

　　7．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

　　A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)

　　C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

　　解析：选D　∵2x(x－a)<1，∴a>x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)．

　　8．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．

　　解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax.

　　所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)

　　＝a(3x－2)(x－2)．

　　令f′(x)＝0，得x＝或x＝2(舍去)，

　　当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．

　　故f(x)的最大值为f＝a<32，即a<27.

　　所以0

　　当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(－2)＝－32a>f(1)＝a.

　　所以f(x)的最大值为f(－2)＝－32a<32，即a>－1.

　　所以－1

　　综上可得，a的取值范围为(－1,0)∪(0,27)．

　　二、综合过关训练

　　1．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上(　　)

　　A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0，最小值－

　　C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值

　　解析：选B　f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，