要证明当a≥e^(1/e)时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥e^(1/e)时,

存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.

即只需证明当a≥e^(1/e)时,方程组

{■(a^(x_1 ) lna=1/(x_2 lna) "　①" @a^(x_1 ) "-" x_1 a^(x_1 ) lna=log_a x_2 "-" 1/lna "　②" )┤有解,

由①得x2=1/(a^(x_1 ) "(" lna")" ^2 ),代入②,得a^(x_1 )-x1a^(x_1 )lna+x1+1/lna+(2ln"(" lna")" )/lna=0　③,

因此,只需证明当a≥e^(1/e)时,关于x1的方程③有实数解.

设函数u(x)=ax-xaxlna+x+1/lna+(2ln"(" lna")" )/lna,即要证明当a≥e^(1/e)时,函数y=u(x)存在零点.

u'(x)=1-(lna)2xax,可知x∈(-∞,0)时,u'(x)>0;

x∈(0,+∞)时,u'(x)单调递减,又u'(0)=1>0,

u'[1/("(" lna")" ^2 )]=1-a^(1/("(" lna")" ^2 ))<0,故存在唯一的x0,且x0>0,

使得u'(x0)=0,即1-(lna)2x0a^(x_0 )=0.

由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥e^(1/e),

故ln(lna)≥-1,

所以u(x0)=a^(x_0 )-x0a^(x_0 )lna+x0+1/lna+(2ln"(" lna")" )/lna=

1/(x_0 "(" lna")" ^2 )+x0+(2ln"(" lna")" )/lna≥(2+2ln"(" lna")" )/lna≥0.

下面证明存在实数t,使得u(t)<0.