实际问题中导数的意义

　　[学习目标]

　　1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．

　　2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．

　　3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．

　　【情境引入】

当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使"用料最省""效率最高""利润最大"等问题，在数学上就是求函数的最大值、最小值问题．

　　那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？

　　【新知探究】

　　1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

　　如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得．

　　2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

　　(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；

　　(2)将函数y＝f(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是

【例题讲解】

　　例1 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

　　【思路启迪】　先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．

【解】　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．