2018-2019学年人教B版必修4 2.4向量的应用 学案(1)
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典题精讲

例1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度,转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.

解:已知:四边形ABCD是平行四边形,

求证:||2+||2=2||2+2||2.

证法一:如图2-4-1所示,设=a,=b,

图2-4-1

∴=a+b,=b-a.

∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,

||2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.

∴||2+||2=2a2+2b2.

又∵2||2+2||2=2a2+2b2,

∴||2+||2=2||2+2||2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

证法二:如图2-4-2所示,以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.

图2-4-2

设A(0,0)、D(a,b)、B(c,0),

==(c,0)+(a,b)=(a+c,b),

=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).