2019-2020学年北师大版必修一 函数模型及其应用 教案

典例精析

题型一　运用指数模型求解

【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？

【解析】已知本金为a元，

1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；

2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；

3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r

＝a(1＋r)3；

　　　　⋮　　　　⋮

x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.

将a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上式得

y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，

所以5期后的本利和是11 176.8元.

【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x.

【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是(　　)

A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12

C.(1＋p)11 D.12p

【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A.

题型二　分段函数建模求解

【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元.

(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？

(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？

【解析】设该店月利润额为L，则由假设得

L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，①