2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

　　内容要求　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义(重点).2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算(重点).3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题(难点)．

　　知识点1　向量的数乘运算

　　1．定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

　　(1)|λa|＝|λ||a|；

　　(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

　　当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．

　　2．运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

　　(1)λ(μa)＝(λμ)a；

　　(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

　　(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；

　　特别地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb．

　　【预习评价】

　　4(2a－3b)－2(3a＋2b)＝________．

　　解析　原式＝8a－12b－6a－4b＝2a－16b．

　　答案　2a－16b

　　知识点2　共线向量定理

　　1．向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa　．

　　2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b　．

　　【预习评价】　(正确的打"√"，错误的打"×")

　　(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　　)

　　(2)若b＝λa，则a与b共线．(　　)

　　(3)若λa＝0，则a＝0.(　　)

　　提示　(1)×，当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．

　　(2)√，由共线向量定理可知其正确．

(3)×，若λa＝0，则a＝0或λ＝0．