第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明2

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一、学习目标

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.

二、自主学习

　　1．反证法

　　假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

　　2．反证法常见的矛盾类型

　　反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

　　[化解疑难]

　　1．反证法实质

　　用反证法证明命题"若p，则q"的过程可以用以下框图表示：

　　―→―→―→

　　2．反证法与逆否命题证明的区别

　　反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是"p⇒q"与"綈q⇒綈p"是等价命题，通过证明命题"綈q⇒綈p"为真命题来说明命题"p⇒q"为真命题，证明过程不出现矛盾．

三、合作探究

探究1：用反证法证明否定性命题

[例1]　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．

　　求证：f(x)＝0无整数根．

[证明]　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈ )，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，

∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，

∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．

　　[类题通法]

　　1．用反证法证明否定性命题的适用类型

　　一般地，当题目中含有"不可能""都不""没有"等否定性词语时，宜采用反证法证明．

2．反证法的一般步骤