课堂导学

三点剖析

1.公式sin2α+cos2α=1与=tanα的推导及应用

【例1】 已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两根.

(1)求sin3θ+cos3θ的值；

(2)求tanθ+的值.

思路分析：(1)利用韦达定理，用a的代数式表示sinθ+cosθ与sinθcosθ.

(2)利用同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1，结合(1)构造关于a的方程.

(3)求a值，注意检验a是否满足题意.

(4)利用前面推导的结果及同角三角函数关系式求值.

解：由韦达定理得

所以a2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2a,

即a2-2a-1=0.所以a=1±.

又方程有两根，则Δ=(-a)2-4a≥0，

即a≤0或a≥4，所以a=1-,

即sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.

(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=-2.

(2)tanθ+=--1.

各个击破

类题演练 1

已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=__________.

解析:∵sinθ-cosθ=,

∴(sinθ-cosθ)2=.

∴1-2sinθcosθ=.

∴sinθcosθ=.

∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)

=×(1+)=.

答案：