要点三　指、对数函数的图象性质应用

例3　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值.

解　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.

如图可知，

a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标.

由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，

所以它们的图象关于直线y＝x对称，

由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，

于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).

而A、B都在直线y＝－x＋3上，

∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，

或a＝－b＋3，故a＋b＝3.

规律方法　形如ax＋ x＝b(a＞0且a≠0)或logax＋ x＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点.

跟踪演练3　函数f(x)＝lg x＋x－3的零点所在区间为(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3，＋∞)

答案　C

解析　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象.它们交点的横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.

当x＝2时，lg x＝lg 2，－x＋3＝1，

由于lg 2＜1，因此x0＞2，

从而得到x0∈(2,3)，故选C.