2019-2020学年北师大版选修2-2 导数的应用 教案
2019-2020学年北师大版选修2-2    导数的应用   教案第3页

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

②验证:求解后验证根的合理性.

跟踪训练1 设函数f(x)=ax3-2x2+x+c.

(1)当a=1,且函数f(x)的图象过点(0,1)时,求函数f(x)的极小值;

(2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求a的取值范围.

解 f′(x)=3ax2-4x+1.

(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1.

当a=1时,f(x)=x3-2x2+x+1,f′(x)=3x2-4x+1,

由f′(x)>0,解得x<或x>1;

由f′(x)<0,解得

所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增,

在上单调递减,

所以函数f(x)的极小值是f(1)=13-2×12+1+1=1.

(2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,

则f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,

即f′(x)=3ax2-4x+1≥0或f′(x)=3ax2-4x+1≤0恒成立.

①当a=0时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件;

②当a≠0时,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0,解得a≥.

综上,a的取值范围为.

题型二 用导数求函数的最值

例4 (2018·贵阳检测)已知函数f(x)=-lnx.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).

解 (1)f(x)=-lnx=1--lnx,

f(x)的定义域为(0,+∞).

∵f′(x)=-=,