2019-2020学年北师大版选修2-2 导数的应用章末复习 学案

题型一　解决与切线有关的问题

例1　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，x2

(1)解　由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.

又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x

当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，

f(x)无极大值.

(2)证明　令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.

由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0.

故g(x)在R上单调递增，

又g(0)＝1>0，

因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2

反思与感悟　高考中求切线方程问题主要有以下两种类型：

类型1　求"在"曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为x＝x0.

类型2　求"过"曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用"待定切点法"，即：①设点A(x1，y1)是曲线y＝f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y1