(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．

解　依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，

∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，

∵l与圆相切，∴＝⇒a＝，

∴a的值为.

题型二　导数与函数的单调性

求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用"和"或"，"隔开，绝对不能用"∪"连接．

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；