f′(x)＝，

f′(－1)＝＝－1.②

联立①②，解得a＝2，b＝－2.所以f(x)＝.

(2)证明　由题意知要证ln x≥在[1，＋∞)上恒成立，

即证明(x2＋1)ln x≥2x－2，x2ln x＋ln x－2x＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立.

设h(x)＝x2ln x＋ln x－2x＋2，则h′(x)＝2xln x＋x＋－2，

因为x≥1，所以2xln x≥0，x＋≥2·≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，即h′(x)≥0，

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，

所以g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.

考点二　利用"若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)"证明不等式

【例2】 已知函数f(x)＝xln x－ax.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；

(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立.

(1)解　函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞).

当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2.

由f′(x)＝0，得x＝.

当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.

所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.

因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－，但f(x)在(0，＋∞)上无最大值.

(2)证明　当x>0时，ln x＋1>－等价于x(ln x＋1)>－.

由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号.

设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，