例2　在△ABC中，sin(A－B)＝sinC－sinB，D是BC的一个三分点(靠近点B)，记＝λ，则当λ取最大值时，求tan∠ACD的值．

这是一道有一定难度的综合问题．假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易．下面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法．

解　由sin(A－B)＝sinC－sinB＝sin(A＋B)－sinB可得2cosAsinB＝sinB，所以cosA＝，

因为A∈(0°，180°)，故A＝60°.

画出△ABC的外接圆O，如图2，记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.

在△ABD中应用正弦定理，可得＝＝λ，

所以AD＝λa.

不难证明：当λ最大时，AD过圆心O(否则A′D≤A′O＋OD＝AO＋OD＝AD)，过O作OE⊥BC，交BC于E.因为A＝60°，所以∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°.

不妨设BD＝1，DC＝2，在Rt△OED中，OE＝BEtan30°＝·＝，ED＝，所以OD＝1，即有OD＝BD，故∠OBD＝∠DOB＝30°，∠BOA＝150°，∠ABO＝15°，

所以∠ABC＝45°.

从而∠ACD＝∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，

所以tan∠ACD＝tan75°＝2＋.

二、寻觅解析圆

　　解析圆，即为坐标圆．解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性质求解问题．

例3　(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A.－1 B.＋1

C．2 D．2－

下面给出一种基于构造解析圆的解法．

解　设e＝(1,0)，a＝(x，y)，b＝(m，n)，

由题设可得a·e＝|a|·|e|cos，即x＝，整理得y＝x(x≥0)．

又由b2－4e·b＋3＝0可得m2＋n2－4m＋3＝0，整理得(m－2)2＋n2＝1.