②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？

③我们知道作周期函数的图像一般是先作出长度为一个周期的区间上的图像,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图像.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？

④我们用"五点法"能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？

⑤你能类比"五点法"也用几个字总结出作正切简图的方法吗？你能类比归纳出正切函数的主要性质吗?

活动:教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习.阅读课本第33页,明确正弦函数的定义.我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图像.那么有没有线段可以表示正切线呢?

如图1,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于T点.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为角α的正切线.

问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后根据作出的正切函数图像,类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质,教师指导学生充分利用正切曲线的直观性.

问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.

图1

问题③,正切函数图像选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了"教师为主导,学生为主体"的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图像,改为先作出［0,π］内的图像,再进行图像的平移,得到整个定义域内函数的图像,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图像既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-,)的图像为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图像,如图2.

图2