由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.

(4)定义域

根据正切函数的定义tanα=,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.

(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-且无限接近-时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(-,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.

因此,正切函数的值域是实数集R.

提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图像特征,由形及数从正切函数的图像讨论它的性质.

②设问:每个区间都是增区间,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.

活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反映了它的哪一性质--定义域；并且函数图像在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线--渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质--值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质--周期π;在每个区间图像都是上升趋势,得到它的哪一性质--单调性,单调增区间是(-+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图像是关于原点对称的,得到哪一性质--是奇函数.通过图像我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.

问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.

讨论结果:①略.

②略.

应用示例

1.比较大小.

(1)tan138°与tan143°；(2)tan(-)与tan(-).

活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.