例4．已知数列,计算,根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明．

　　证：；

　　；

　　；

　　.

　　可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用项数表示为.于是可以猜想

　　.

　　下面用数学归纳法证明这个猜想.

　　（1）当时，左边=,

　　右边=,

　　猜想成立．

　　（2）假设()时，猜想成立,即

　　,

　　那么

　　．

所以当时，猜想也成立．