例2若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3，试确定常数a的值.

思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(ωx+φ)的形式，再确定常数a的值.

解:f(x)=+sinx+a2sin(x+)

=+sinx+a2sin(x+)=sinx+cosx+a2sin(x+)

=sin(x+)+a2sin(x+)=(+a2)sin(x+).

∵f(x)的最大值为+3,sin(x+)的最大值为1，∴+a2=+3.∴a=±.

绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为

y=Asin(ωx+φ)的形式求解，有时化归为二次函数求解.

变式训练 求函数y=cos3x·cosx的最值.

思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值.

解:y=cos3x·cosx

=(cos4x+cos2x)

=(2cos22x-1+cos2x)

=cos22x+cos2x-=(cos2x+)2-.

∵cos2x∈［-1，1］，

∴当cos2x=-时，y取得最小值-；

当cos2x=1时，y取得最大值1，

即函数y=cos3x·cosx的最大值是1，最小值是-.

问题探究

问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sinsinsin的值.

①在等边三角形ABC中；②A=60°,B=90°,C=30°；③A=120°,B=30°,C=30°.

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.

(3)利用(2)的结论计算-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值.

导思:从A+B+C上归纳并猜想出结论.

探究:(1)①由题意得A=B=C=60°，

cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30°