综上所述：f(x)max＝

要点三　函数最值的应用

例3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1　(x∈R，t＞0)，

∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．

当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：

t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t) 递增 1－m 递减 ∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，

h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，

也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，

只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故实数m的取值范围是(1，＋∞)．

规律方法　(1)"恒成立"问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．

(2)此类问题特别要小心"最值能否取得到"和"不等式中是否含等号"的情况，以此来确定参数的范围能否取得"＝"．

跟踪演练3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；

(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．

解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．