相互独立事件及概率

[问题展示]　(选修2­3 P55练习T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

(1)甲、乙两地都降雨的概率；

(2)甲、乙两地都不降雨的概率；

(3)其中至少一个地方降雨的概率．

【解】　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.3.

(1)甲、乙两地都降雨为事件AB，P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.2×0.3＝0.06.

(2)甲、乙两地都不降雨为事件\s\up6(－(－)\s\up6(－(－)，P(\s\up6(－(－)\s\up6(－(－))＝P(\s\up6(－(－))·P(\s\up6(－(－))＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.

(3)至少有一个地方降雨为(AB)∪(\s\up6(－(－)B)∪(A\s\up6(－(－))，

所以P[(AB)∪(\s\up6(－(－)B)∪(A\s\up6(－(－))]＝P(AB)＋P(\s\up6(－(－)B)＋P(A\s\up6(－(－))

＝P(A)P(B)＋P(\s\up6(－(－))P(B)＋P(A)P(\s\up6(－(－))

＝0.2×0.3＋(1－0.2)×0.3＋0.2×(1－0.3)＝0.44.

或P[(AB)∪(\s\up6(－(－)B)∪(A\s\up6(－(－))]＝1－P(\s\up6(－(－)\s\up6(－(－))＝1－0.56＝0.44.

天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．

(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；

(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列和数学期望与方差．

【解】　(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.

由题意得，