解:+=-=-=-1.
4.若复数z=1-2i(i为虚数单位),求z·+z.
解:∵z=1-2i,∴=1+2i.
∴z·+z=(1-2i)(1+2i)+(1-2i)=5+1-2i=6-2i.
复数问题实数化 [例3] 设存在复数z同时满足下列条件:
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限;
(2)z·+2iz=8+ai(a∈R).
试求a的取值范围.
[解] 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi.
由(1),知x<0,y>0.
又z·+2iz=8+ai(a∈R),
故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai,
即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai.
∴
消去x,整理,得4(y-1)2=36-a2,
∵y>0,
∴4(y-1)2≥0.
∴36-a2≥0.
∴-6≤a≤6.
又2x=a,而x<0,
∴a<0.
∴-6≤a<0.
所以a的取值范围为[-6,0).
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,桥梁是设z=x+yi(x,y∈R),依据是复数相等的充要条件.
5.已知复数z=(1-i)2+1+3i.
(1)求|z|;