有限制条件的组合问题分类

有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是"含"与"不含"问题，其解法常用直接分步法，即"含"的先取出，"不含"的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是"至多""至少"问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．　

　1.若从1，2，3，...，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有(　　)

A．60种　　　　　　　　　 B．63种

C．65种 D．66种

解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有CC＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有CC＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．

2．(2018·江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．(用数字作答)

解析：根据题意，分两种情况讨论：

①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C×C＝40(种)选派方案；

②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C＝15(种)选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案．

答案：55

探究点2　组合中的分组、分配问题

　按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？

(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．

【解】　(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C种方法，所以一共