2019-2020学年北师大版选修1-1 4.1 导数的加法与减法法则 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1 4.1 导数的加法与减法法则 学案第2页

解 观察式子的特点,可以先化简再求导.

(1)∵y=x+2+,∴y′=1-.

(2)∵y=1+sincos=1+sin x,∴y′=cos x.

(3)∵y=x=x3+1+,∴y′=3x2-.

(4)∵y=(+1)=-+,

∴y′=(-)′+′=-x-x

=-.

反思与感悟 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.

跟踪训练1 求下列函数的导数.

(1)y=x3+x2+x;

(2)y=2x+.

解 (1)y′=(x3+x2+x)′=(x3)′+(x2)′+(x)′

=3x2+2x+1.

(2)y′=(2x+)′=(2x)′+()′=2xln 2+.

题型二 求导法则的逆向应用

例2 已知f′(x)是一次函数,x2·f′(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.

解 由f′(x)为一次函数可知,f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b,把f(x),f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,又该方程对一切x∈R恒成立,所以解得所以f(x)=2x2+2x+1.

反思与感悟 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.

跟踪训练2 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+1.求