2019-2020学年人教B版选修2-1 二面角及其度量 学案
2019-2020学年人教B版选修2-1  二面角及其度量  学案第2页

易知A1(0,0,1),P(2-a,a,0),E(0,,0),

所以\s\up6(→(→)=(a-2,-a,1).

因为ED⊥平面A1BD,

所以平面A1BD的一个法向量为\s\up6(→(→)=(0,,0).

因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°,所以sin 60°=\s\up6(→(PA1,\s\up6(→)==,解得a=.

∴PB=2a=,满足0≤2a≤3,符合题意.

所以在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°,此时PB=.

【规律方法】 解决此类问题的基本策略是执果索因,其结论明确需要求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点,建立方程(组)并解方程(组),若有解,则存在并求得结论成立的条件,若无解,则不存在.

【训练1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=2,E为CD的中点,点F在线段PB上.

(1)求证:AD⊥PC;

(2)试确定点F的位置,使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.

【答案】解析

【解析】(1)证明 如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,因为AB=2,BC=2,∠ABC=45°,

由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos 45°=4,得AC=2,所以AC2+BC2=AB2,

所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.

又AD∥BC,所以AD⊥AC,

因为AD=AP=2,DP=2,

所以AD2+AP2=DP2,所以PA⊥AD,