第1课时 公式推导及简单应用
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
知识点一 等差数列前n项和公式
思考 高斯用1+2+3+...+100=(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+...+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:
设Sn=1+2+3+...+(n-1)+n,
又Sn=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1,
∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+...
+[(n-1)+2]+(n+1),
∴2Sn=n(n+1),∴Sn=.
梳理 等差数列的前n项和公式:
已知量 首项,末项与项数 首项,公差与项数 选用公式 Sn= Sn=na1+d
知识点二 a1,d,n,an,Sn知三求二
思考 在等差数列{an}中,若已知d,n,an,如何求a1和Sn?
答案 利用an=a1+(n-1)d代入d,n,an,可求a1,利用Sn=或Sn=na1+d可求Sn.
梳理 (1)两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,项和前n项和.
(2)依据方程的思想,在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即"知三求二".