为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建．

　　解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，

　　设x1，x2是［1，＋∞)上的任意两个值，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，

　　2x1x2＞2,0＜＜，所以1－＞0．

　　又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，

　　则f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间［1，＋∞)上为增函数，则f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．

　　(2)方法一：在区间［1，＋∞)上，

　　f(x)＝＞0恒成立，

　　即x2＋2x＋a＞0恒成立．

　　设y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞)．

　　则y＝(x＋1)2＋a－1在区间［1，＋∞)上递增，

　　所以当x＝1时，ymin＝3＋a．

　　于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，

　　函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3．

　　方法二：f(x)＝x＋＋2，x∈［1，＋∞)，

　　当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，

　　当a＜0时，函数f(x)递增，

　　故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3．

　　反思：求函数的最值，先求函数的定义域．函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值．

　　不等式f(x)≥a恒成立的条件是f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立的条件是f(x)max≤a．

　　题型三 最值的应用

　　【例4】某工厂拟建造一座平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)．求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．

　　解：设污水处理池的长为x米，0＜x≤16，

　　则宽为米，0＜≤16．

根据题意，总造价为y＝400×2×＋248×2×＋80×200＝800×＋16 000．