【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.

　　求证：MN∥AD1.

　　[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.

　　又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，

　　所以CD⊥AD1.

　　因为A1D∩CD＝D，

　　所以AD1⊥平面A1DC.

　　又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

　　证明线线平行常用如下方法：

　　1利用线线平行的定义：证共面且无公共点；

　　2利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；

　　3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；

　　4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；

　　5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

　　1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.

　　[解]　因为EA⊥α，α∩β＝l，

　　即lα，所以l⊥EA.

　　同理l⊥EB.

　　又EA∩EB＝E，

　　所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，

　　又a⊥AB，EB∩AB＝B，

　　所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.

面面垂直性质的应用