由可得，即

　　两边开平方得 ．即 为正整数

【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．

求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则．

解析： (1)由已知得，

　　又因为，所以, 因此，即．

　　(2) 由结论(1)可知 ，即，

　　于是，即．

【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{ Pn}}.

　　求：（Ⅰ）的关系式；

　　 （Ⅱ）数列的通项公式；

（Ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐

　　解析 （Ⅰ）由题得

　　过点P1（的切线为

　　过原点

　　又过点Pn（的

　　因为过点Pn-1（

　　整理得

　　（Ⅱ）由（I）得

　　所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列

（Ⅲ）