类型一　求函数的最值

例1　求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

考点　利用导数求函数的最值

题点　利用导数求不含参数函数的最值

解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得

x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ －5

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；

当x＝1时，f(x)max＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点

(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．

(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．

(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．

跟踪训练1　求下列函数的最值．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．

考点　利用导数求函数的最值