1＋＋＋...＋＋ ＞＋ .

　　(方法1)因为－＝

　　＝＝＞0，

　　所以＋＞，

　　即1＋＋＋...＋＋ ＞.

　　(方法2)因为＋＝＞＝＝，

　　所以1＋＋＋...＋＋ ＞.

　　即当n＝k＋1时原不等式也成立，

　　由(1)(2)知原不等式成立．

　　点评 本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明．

　　探究三 用数学归纳法证明整除问题

　　与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．

　　【典型例题3】 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．

　　思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．

　　证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，

　　即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

　　则当n＝k＋1时，

　　(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]

　　＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27

　　＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．

　　因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，

　　所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，

　　即n＝k＋1时结论也成立．

　　由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．

探究四 归纳-猜想-证明