综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.

5.(2018福建,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,...,A9和B1,B2,...,B9.连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).

(1)求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;

(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.

解析　解法一:(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.

设Pi的坐标为(x,y),由

得y=x2,即x2=10y.

所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.

(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.

由得x2-10kx-100=0,

此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则

因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.

又x1·x2<0,所以x1=-4x2,

分别代入①和②,得

解得k=±.

所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.

解法二:(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.

证明如下:过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.

由解得Pi的坐标为,

因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y,

所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.

(2)同解法一.

6.(2018四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.

解析　(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,

所以a=.

又由已知得,c=1,

所以椭圆C的离心率e===.(4分)

(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.

设点Q的坐标为(x,y).

(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.

(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.

因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),

则|AM|2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).

又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.

由=+,得

=+,

即=+=.①

将y=kx+2代入+y2=1中,得