8. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品每件的零售价为 p 元，销量 Q（单位：件）与每件的零售价 p（单位：元）有如下关系：Q=8300-170p-p^2，则该商品每件的零售价定为 元时，总利润最大．

【答案】 30

9. 设点 P 在曲线 y=1/2 e^x 上，点 Q 在曲线 y=ln(2x) 上，则 ∣PQ∣ 的最小值为 ．

【答案】 √2 (1-ln2)

【分析】 因为函数 y=1/2 e^x 与函数 y=ln(2x) 互为反函数，图象关于 y=x 对称．

函数 y=1/2 e^x 上的点 P(x,1/2 e^x ) 到直线 y=x 的距离为 d=∣1/2 e^x-x∣/√2，

设 g(x)=1/2 e^x-x，(x>0) 则 gʹ(x)=1/2 e^x-1

由 gʹ(x)=1/2 e^x-1⩾0 可得 x⩾ln2，

由 gʹ(x)=1/2 e^x-1<0 可得 0

所以函数 g(x) 在 (0,ln2) 单调递减，在 [ln2,+∞) 单调递增．

所以当 x=ln2 时，函数 g(x)_min=1-ln2，d_min=(1-ln2)/√2．

由图象关于 y=x 对称得：∣PQ∣ 最小值为 2d_min=√2 (1-ln2)．

10. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 f(x)=e^x (x>0) 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t ，则 t 的最大值是 ．

【答案】 1/2 (e+1/e)

【分析】 设 P(x_0,e^(x_0 ) ) ，则

l:y-e^(x_0 )=e^(x_0 ) (x-x_0 )．

所以

M(0,(1-x_0 ) e^(x_0 ) )．

过点 P 作 l 的垂线

y-e^(x_0 )=-e^(-x_0 ) (x-x_0 ),

则

N(0,e^(x_0 )+x_0 e^(-x_0 ) )．

则有

■(t&=1/2 [(1-x_0 ) e^(x_0 )+e^(x_0 )+x_0 e^(-x_0 ) ]@&=e^(x_0 )+1/2 x_0 (e^(-x_0 )-e^(x_0 ) ),@tʹ&=1/2 (e^(x_0 )+e^(-x_0 ) )(1-x_0 )．)

所以， t 在 (0,1) 上单调增，在 (1,+∞) 单调减，