求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

(1)"P(AB)＝P(A)P(B)"是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．

(2)涉及"至多""至少""恰有"等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．

(3)公式"P(A＋B)＝1－P(A B)"常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．　

　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

解：记E＝，

F＝，

由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．

(1)记H＝，则H＝E F，

于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝.

(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(E F)＝×＝，

P(X＝100)＝P(EF)＝×＝＝，

P(X＝120)＝P(EF)＝×＝，

P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝.

故所求的分布列为

X 0 100 120 220 P 数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.