题点 利用导数求几何体体积的最值问题
解 ∵V(x)=(x)2×(60-2x)×
=x2×(60-2x)=-2x3+60x2(0 ∴V′(x)=-6x2+120x=-6x(x-20). 令V′(x)=0,得x=0(舍去)或x=20. ∵当0 当20 ∴V(x)在x=20时取极大值也是唯一的极值,故为最大值. ∴底面边长为x=20(cm), 高为(30-x)=10(cm), 即高与底面边长的比值为. 引申探究 本例条件不变,若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? 解 ∵AE=x,∴HE=x. ∵EF=60-2x, ∴EG=EF=(60-2x)=(30-x). ∴S侧=4×HE×EG=4×x×(30-x) =8x(30-x)=-8x2+240x =-8(x-15)2+8×152. ∴当x=15时,S侧最大为1 800 cm2. 反思与感悟 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验. 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h的值为________. 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题