变式训练

如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.

图4

　　画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.

　　证明：如图5,

图5

　　　.

　　所以,BC∥平面MNEF.

　　点评："见中点，找中点"是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.

例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.

图6

　　求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.

　　证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.

　　在△ABC中，

　　∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.

　　又EF面EFG，AC面EFG,

　　∴AC∥面EFG.

　　同理可证BD∥面EFG.

　　变式训练

已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.

证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.