P(0,0, )．

8.三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝2，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：

(1)求点A，B，C，P的坐标；

(2)求AB，PC的中点之间的距离．

解：(1)取AC的中点O，连结OB，OP.

∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2.

∴AC＝4，OB＝2.

∵PA＝PB＝PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.

故PO⊥平面ABC.

∵PA＝3，

∴PO＝＝＝.

以O为坐标原点OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则P(0,0，)．A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．

(2)AB的中点坐标为(1，－1,0)，PC的中点坐标为(0,1，)．

这两个中点之间的距离为

d＝＝.

[高考水平训练]

1．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．

解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．

答案：(2，－3,1)

2．对于任意实数x、y、z，则 ＋

的最小值为________．

解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)则＋＝PO＋PM，由于x、y、z是任意实数，即点P是空间任意一点，则PO＋PM≥OM＝＝，则所求的最小值为.

答案：

3.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

(1)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究PQ的最小值；

(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．

解：设正方体的棱长为a，连结OA，在平面AOB内，作PH⊥OA于H.

∵OB⊥平面xOy，∴PH⊥平面xOy.

设P(x，x，z)，则＝，

∴z＝a－x.故P(x，x，a－x)．

(1)由题意知Q(0，a，)，P(x，x，a－x)，