★10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=2/3 FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF,求二面角A' - FD - C的余弦值.

分析:本题可以建立适当的直角坐标系,利用平面的法向量来求;也可作出二面角的平面角来求.

解法一取线段EF的中点H,连接A'H,

　　由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,

　　所以A'H⊥EF.

　　又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H⊂平面A'EF,

　　所以A'H⊥平面BEF.

　　如图建立空间直角坐标系Axyz,

　　则A'(2,2,2√2),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).

　　故(FA"'" ) ⃗=(-2,2,2√2),(FD) ⃗=(6,0,0).

　　设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,

　　所以{■("-" 2x+2y+2√2 z=0"," @6x=0"." )┤

　　取z=√2,则n=(0,-2,√2).

　　又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),

　　故cos=(n"·" m)/("|" n"||" m"|" )=√3/3.

　　所以二面角A' - DF - C的余弦值为 √3/3.

解法二取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A'G,A'H,GH.