4.双曲线的两条渐近线的方程为y=±√2x,且经过点(3,-2√3).
(1)求双曲线的方程.
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±√2x,
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2√3),代入方程可得λ=6,
所以所求双曲线的方程为x^2/3-y^2/6=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=√3(x-3),
联立{■(y=√3(x-3)@2x^2-y^2=6)┤,
得x2-18x+33=0,
由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,
所以|AB|=√(1+k^2 )|x1-x2|=√(1+3)·√((x_1+x_2 )^2-4x_1 x_2 )
=2√(324-132)=16√3,
即弦长|AB|=16√3.