如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),所以\s\up6(→(→)=(-2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,所以平面BB1D1D的一个法向量为a=\s\up6(→(→)=(-2,2,0).
所以所求角的正弦值为|cos〈a,\s\up6(→(→)〉|=\s\up6(→(BC1,\s\up6(→)==.
4.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A.120° B.45°
C.150° D.60°
解析:选B.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),\s\up6(→(→)=(1,0,-1),
\s\up6(→(→)=(1,1,-1).
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有
可取n=(1,0,1).
又平面EAD的一个法向量为\s\up6(→(→)=(1,0,0),所以cos〈n,\s\up6(→(→)〉==,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
5.如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为( )