【解析】选C.如图所示.

由于∠F1AB=∠F1B A，

△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角.故只需要

∠AF1F2<45°即可

即(|AF_2 |)/(|F_1 F_2 |)<1，所以(b^2/a)/(　2c　)=(c^2-a^2)/2ac<1即c2-a2<2ac.

即e2-2e-1<0，解得1-√2

又因为e>1，故1

【延伸探究】已知点F是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是　(　　)

A.(1，√2) B.(√2，+∞)

C.(1，2) D.(2，+∞)

【解析】选D.设A(-c，y0)，代入双曲线方程得c^2/a^2 -y^2/b^2 =1，所以y_0^2=b^4/a^2 .

所以|y0|=b^2/a，

所以|AF|=b^2/a.

因为△ABE是钝角三角形，所以∠AEF>45°.

则只需|AF|>|EF|，即b^2/a>a+c，所以b2>a2+ac，

即c2-a2>a2+ac，c2-ac-2a2>0.

所以e2-e-2>0，解得e>2，e<-1(舍去).

5.(2018·天津高考)已知双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x-2)^2+y2=3相切，则双曲线的方程为　(　　)

A.x^2/9-y^2/13=1 B.x^2/13-y^2/9=1

C.x^2/3-y2=1 D.x2-y^2/3=1